6.3 Expected Value of a Discrete Random Variable

一、核心概念 / Core Concepts

1. 期望值的定义 / Definition of Expected Value

离散随机变量X的期望值E(X)是所有可能取值与其对应概率乘积的总和，表示随机变量的长期平均值。

The expected value E(X) of a discrete random variable X is the sum of all possible values multiplied by their corresponding probabilities, representing the long-term average value of the random variable.

数学定义 / Mathematical Definition：

\[E(X) = \sum x P(X = x)\]

2. 函数期望值 / Expected Value of Functions

对于随机变量X的函数g(X)，其期望值E(g(X)) = Σg(x)P(X = x)。特别地，E(X²) = Σx²P(X = x)。

For a function g(X) of random variable X, the expected value E(g(X)) = Σg(x)P(X = x). In particular, E(X²) = Σx²P(X = x).

重要性质 / Important Property：任何随机变量的函数也是随机变量

3. 期望值的意义 / Meaning of Expected Value

期望值是一个理论量，给出关于随机变量概率分布的信息。它表示在大量重复实验中的平均结果。

The expected value is a theoretical quantity that gives information about the probability distribution of a random variable. It represents the average result over a large number of repeated experiments.

符号 / Notation：期望值有时称为均值，用希腊字母μ表示

二、重要公式 / Important Formulas

期望值核心公式 / Core Formulas for Expected Value

1. 期望值定义 / Expected Value Definition

\[E(X) = \sum x P(X = x)\]

随机变量X的期望值等于其所有可能取值与对应概率乘积的总和。

The expected value of random variable X is equal to the sum of all its possible values multiplied by their corresponding probabilities.

2. 函数期望值 / Expected Value of Functions

\[E(g(X)) = \sum g(x) P(X = x)\]

随机变量X的函数g(X)的期望值。

The expected value of function g(X) of random variable X.

3. X²期望值 / Expected Value of X²

\[E(X^2) = \sum x^2 P(X = x)\]

随机变量X平方的期望值，用于计算方差。

The expected value of X squared, used for calculating variance.

三、经典例子 / Classic Examples

例子类型	描述	关键点
公平骰子	计算六面骰子的期望值	E(X) = 3.5，不一定是实际可能取值
未知参数	使用期望值求解概率分布中的未知参数	联立方程组求解p和q
函数期望值	计算X²等函数的期望值	E(X²) ≠ [E(X)]²

四、计算步骤 / Calculation Steps

计算期望值的步骤 / Steps for Calculating Expected Value

步骤1：识别随机变量和概率分布
Step 1: Identify the random variable and probability distribution
确定随机变量X及其概率分布P(X = x)。
步骤2：计算每个x * P(X = x)的值
Step 2: Calculate each x * P(X = x) value
对每个可能取值x，计算x与其对应概率的乘积。
步骤3：求和得到期望值
Step 3: Sum to get the expected value
将所有x * P(X = x)的值相加得到E(X)。
步骤4：验证结果
Step 4: Verify the result
检查计算是否正确，理解结果的含义。

五、实际应用 / Practical Applications

期望值的实际应用场景 / Practical Applications of Expected Value

赌博游戏 / Gambling Games：计算博弈中的平均收益或损失
质量控制 / Quality Control：预测产品缺陷的平均数量
金融投资 / Financial Investment：计算投资组合的平均回报率
保险精算 / Insurance Actuarial：确定保费和赔付的平均水平
决策分析 / Decision Analysis：在不确定性条件下评估不同选择的预期结果

六、重要提示 / Important Tips

学习与应用要点 / Key Points for Learning and Application

理论性质：期望值是一个理论量，表示长期平均结果，不一定是随机变量的实际取值。
Theoretical Property: Expected value is a theoretical quantity representing long-term average results, not necessarily an actual value the random variable can take.
计算技巧：在计算期望值时，确保使用正确的概率分布，并且所有概率相加等于1。
Calculation Tips: When calculating expected values, ensure you use the correct probability distribution and that all probabilities sum to 1.
函数期望值：理解E(g(X))的计算方法，特别是对于非线性函数。
Function Expected Value: Understand the calculation method for E(g(X)), especially for non-linear functions.
实际意义：期望值在决策制定中很重要，帮助评估不同选择的潜在结果。
Practical Meaning: Expected values are important in decision making, helping to evaluate the potential outcomes of different choices.